Azulejoak

Agurrak

Eskuemateak

Buruketak: Laburpena

Buruketa proposatuak eta Selektibitatekoak

Buruketak ebazteko aholku batzuk

Buruketa bat ebazteko kontuan izan beharko zenituzke honako hauek:

• Ulertu ondo buruketan agertzen diren berba edo hitz guztiak.
• Jarri lanean buruan dituzun baliabide eta bitarteko guztiak.
• Zure kontzentrazioa ahalik eta handiena izan dadila.
• Pazientzia eta ekina izan beharko dituzu bide neketsu honetan bidelagun.
• Buruketa bakoitzak bere denbora behar izaten du ebazteko.
• problema zailenak ebatzi berriro.
• Hausnartu problema eta ebazteko beste bide batzuk ere jarraitu.
• Egin soluzioen trukea ikaskideekin.

Buruketen teoria aplikatzeko hona hemen proposamen batzuk:

1. Ariketa proposatuak

2. Selektibitate desberdinetako buruketak

kjhkhkh

Bibliografia

• DE GUZMAN, Miguel: Para pensar mejor. Ed. Pirámid
• PERAL, J.C.; FERNANDEZ, S.; BAGAZGOITIA, A.; CASTAÑEDA, F.: La resolución de problemas en las Matemáticas de Bachillerato. Ed. Euskal Herriko Unibertsitatea
• POLYA, George: Cómo plantear y resolver problemas. Ed. Trillas
• FERNANDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F.: Revista SIGMA nº 10. Servicio central de Publicaciones del Gobierno Vasco
• MASON, John; BURTON, Leone; STACEY, Kaye: Pensar matemáticamente. Ed. Labor

Buruketak ebazteko ESTRATEGIAK

Plan bat pentsatzea buruketa bati heltzeko moduak edo estrategia desberdinak daudela ikustea da, baina praktikara eraman gabe. Honen oinarria hauxe da:

• Buruketa bat ebazten duenak ez daki ziur bururatzen zaion lehen bideak soluziobidera eramango duen.
• Eta buruketa batek, oro har, ebazteko bide desberdinak ditu.

Buruketen ebazpenean erabiltzen diren prozeduretako bakoitzari estrategia deitzen zaio.

Estrategiak buruketaren edo egoeraren datuetan oinarritu beharrean, pertsonaren ihardunean oinarritzen diren prozedurak dira, buruketa bat ebaztean edo ikerketa bat egitean erabili behar diren teknikak, kontzeptuak eta prozesuak aukeratzen laguntzeko.

Aieruen saiakuntzak eta esperimentazioak soluziora eraman gaitzaketelakoan buruketara hurbiltzeko gaitasuna estrategiek areagotzen dute. Emaitza lortu ondoren, frogatzeko eta erabilitako metodoak kontrolatzeko beharra bultzatzen dute.

Ondoren azalduko den estrategia bakoitza ulerterraza eta aplikagarritasun handikoa izango da; hau dela eta, horietako bakoitza nahiko azpimarratu beharko da.

Hona hemen estrategia batzuk:

1. Hizkuntza eta idazkera egokiak aurkitzea
2. Soluziotik abiatu
3. Indukzio-metodoa
4. Esperimentatu. Jarraibideak atera
5. Analogia. Antzekotasuna
6. Buruketa bat txikiago batzuetan zatitzea: Sinplifikatzea. Soiltzea
7. Simetriari etekina ateratzea
8. Saiakuntza-errorea
9. Antolamendua
10. Buruketa bat aldatzea
11. Muturretako kasuak
12. Eskema, irudi, taula edo diagrama bat egitea

Buruketak

HAUSNARTU

Zerbait benetan ez da ulertzen baldin eta nor bere amamari azaltzeko gai ez bada. (Albert Einstein)
Buruketa baten formulazioa bere soluzioa baino garrantzitsuagoa da! (Albert Einstein)
Jakituria ez zaigu berez-berez etortzen, ikasi egiten da! (esaera arabiarra)
Dudarik ez duenak ez daki ezer. (esaera greziarra)
Kasualitateak mesede egiten die buru entrenatuei. (Charles Babbage)
Benetako jakituria honetan datza: dakizuna dakizula jakitea eta ez dakizuna ez dakizula jakitea. (esaera txinatarra)
Ikerketa da inork pentsatu ez duena pentsatzea eta mundu guztiak ikusi duena ikustea. (Albert Szent-Györgi)

ZER DA BURUKETEN EBAZPENA?

Zerbait egin nahi duenak bidea aurkitzen du; ezer egin nahi ez duenak aitzakia bilatzen du. (Atsotitz arabiarra)
Egoera berriei aurre emateko aktibitateari ebazpena deitzen zaio, naiz eta ahalegin handia eta gure posibilitateetan konfiantza eskatu.
Buruketen ebazpena ez da gauzatzen formula eta emaitza asko gogoratzen eta erabiltzen, baizik ezagueretan, antolatzen jakitean eta abarrean. Sortzaile, ireki eta positiboa den aktibitate mentala da.Gogoratu edozein diziplinatan, eta problemak ebazteko momentuan baita, ikasleak ondoko hauek kontuan izan behar dituela:

• Ikaslea bera da lana egin behar duena.
• Irakaslea ikaslearen lanaren orientatzaile hutsa izango da; ikasleak erabiliko dituen liburuak oso lagungarriak izango dituelarik. Baina ikaslea da a) Egoera aztertu behar duena eta, b) Ideiak eta hauen azalpenak zehaztasunez eman behar dituena.

Irakaslea EZ da izango BURUKETA GUZTIAK bideratuko dituena…

ZER DA BURUKETA BAT?

Hiztegi desberdinetan begiratzen badugu, honako definizioak bilatuko ditugu:

• Argitu nahi den arazo bat.
• Emandako hainbat datuz baliatuz, emaitza egokia aurkitzeko eskatzen duen ariketa.
• Burutzeko ekintza edo horren ondorioa.
• Problema.
• Konponbide zaila duen proposizio edo zailtasuna da.
• Datu batzuk ezagunak direnean, emaitza bat lortzeko modua jakin ahal izateko proposizio bat da.
• Lortu beharreko helburu bat inplikatzen duen egoera da, helburu hori lortzeko eragozpenak dituena eta eztabaida behar duena.
• “Automatikoki” konpon daitekeen arazoa izan beharrean, ikerketa bat eskatzen duen arazoa planteatzen duena da.
  • Ikerketa kontzeptuala
    Froga ezazu bi zenbaki lehen bikien artean dagoen zenbakia seiren multiploa dela.
  • Ikerketa enpirikoa
    Ikasle bat bizi den herri karratuaren kaleak ( 4 bider 4) elkarrekiko elkarzuta daude. Ikaslea karratuaren erpinetariko batean bizi da, eta diagonala jarraituz aurkako erpinean ikastetxea dago. Ikasleak, ikastetxera iristeko zenbat bide desberdin ditu?
• … (zure definizioa jarri dezakezu)

Zer da BURUKETA ON bat?

Buruketa On bat,

• Ebatzi nahi duenak dituen gaitasunentzako erronka da.
• Berez interesa daukan zerbait, erabilgarritasun praktikoa eduki ala ez.
• Ebatzi behar duen pertsona hasieratik blokeatuta uzten ez duena; hau da, pertsonak bere ahalmenak antzematen ditu; lehen begirada batean gauza atsegina dirudi.
• Ebazten duenarengan beste pertsona batzuei proposatzeko gogoa ematen diona.
• Ez da “tranpadun” proposamenbat.
• Ebatzitakoan, azaltzeko zaila da, baina sentitzeko atsegina den plazerra ematen duena.

Laburbilduz,

• Interesa agerrarazten duen zerbait da. Ikasleak soluzioa bilatu nahi duen lanari edo behar duen lanari aurre ematen dio.
• Berehalako soluziorik ez duen zerbait da. Ez dago lanaren soluzioa bermatzen duen biderik.
• Problema ebazteko bide desberdinak dituena (numerikoa, algebraikoa, geometrikoa…). Baita soluzio bat baino gehiago izateko posibilitatea izan dezakeena.

ARIKETA BATEN eta BURUKETA BATEN EZAUGARRI NAGUSIAK

• ARIKETAK
  • Oro har, denbora laburra behar izaten da egiteko.
  • Begi-kolpe batez ikusi ohi da zer den eta ebazteko jarraitu behar den bidea.
  • Bere helburu nagusia errutinaz aurrez entseatutako prozedurak eta mekanismoak aplikatzea da.
  • Oro har, arazo itxiak eta oso definituak izan ohi dira.
  • Bere idazkuntzan, ez dira motibazioa, interesa etabar bezalako alderdiak kontuan hartzen. Testuingurutik kanpo geratzen diren egoerak dira.
• BURUKETAK
  • Oro har, denbora bat behar izaten da ebazteko.
  • Hasieran zaila da ulertzen eta ez da jakiten arazoari nola heldu; denbora bat behar izaten da horretarako.
  • Bere helburu nagusia ez da arau edo errezeta bat aplikatzea, bide bat egitea baizik.
  • Oro har, ariketak baino arazo irekiagoak dira eta ez hain definituak.
  • Bere ebazpenak pazientzia, iraunkortasun, sormen, adimen etabar handi samarra eskatzen du. Testuinguru jakin bateko egoerak izan ohi dira.

“Ariketa bat eta benetako buruketa baten arteko diferentzia erlatiboa da. Pertsona batentzat ohikoa ez den problema bat, beste batentzat ariketa sinplea izan daiteke; guztia ikasleak aldez aurretik bereganatu dituen ezagueren eta esperientzien menpe dago.”

Buruketak ebazteko EREDUAK

Buruketa baten ebazpenean zehar jarraitu beharreko ibilbideari eredua deitzen zaio. Gainera, buruketen ebazpenerako edozein ereduren helburua ikaslea ohitura batzuez hornitzea da.
Erraza litzateke buruketen ebazpenerako irizpide ideal bat dagoela esatea; baina, zoritxarrez ez da horrela. Hona hemen buruketen ebazpenerako bi eredu, nahiz eta gehiago izan.

Polya eredua.

George Polya hungariar matematikaria da, eta 1945ean idatzi zuen bere “How to solve it” liburua. Bertan buruketen ebazpenerako eholkuak ematen ditu.
Polya-ek dioenez buruketak ebazteko komenigarria da ebazpenera edo bilaketara eramango gaituen nolabaiteko metodo bat edukitzea. Berak dioenez, buruketen ebazpenean ondoko etapa hauek kontuan izan behar dira:

Enuntziatua ulertu

• Buruketaren enuntziatua irakurri, bere hitz guztiak ulertzeko.
• Norberaren hitzak erabili eta problema argitzen zaiatu.
• Azaldu zeintzuk diren datuak (ezagutzen dena).
• Azaldu zeintzuk diren aldagaiak (bilatu behar dena, kalkulatu behar dena…)
• Enuntziatuko hitz garrantzitsuak azpimarratu.
• Galdetu: Ezezagun bat bilatzeko baldintza nahiko dago? Gutxiegizkoa da? Alferrikakoa da? Kontrajarria da?
• …

Estrategia posibleen artean bilatzea. Plan bat eratzea.

Buruketa baten ebazpena ez da planteatzen burura etortzen den lehen ideia erabilita (beharbada ez da ez zuzena, ez egokia); beste aukera batzuk ere kontuan hartu behar dira. Etapa honetan, komenigarria da galdera batzuk egitea:

• Antzeko problema baten aurrean aurkitzen naiz?
• Enuntziatu honekin erlazionaturiko problemaren bat ezagutzen dut?
• Datuak taula, eskema, diagrama batera eraman eta ondorioak atera ahal ditut?
• Baldintza gutxiago dituen antzeko eta sinpleagoa den buruketa bat planteatu dezaket?
• Kasu partikularrak kontuan hartu ditut?
• Aldagaiak aukera al ditzaket? Hala bada, datuekin erlazionatzen saiatuko ahal naiz?
• Eta soluziotik abiatuta ebazten badut?
• …

Aukeratu estrategia bat eta eraman ezazu aurrera.

Buruketa bat ebazteko beste atal batean aipatuko den estrategietako bat aukeratu behar da. Aukeratutako estrategia aurrera eramatean besteren bat bururatzen bazaizu ez baztertu, baliagarria izan daiteke, batzuetan estrategia bat baino gehiago erabili behar baitira.
Etapa honetan komenigarria da galdera batzuk eta balizko prozedura batzuk kontuan hartzea:

• Buruketa atera al da? Bestela aldatu.
• Azter ezazu sakon zure soluziobidea, berraztertu egin dituzun eragiketak eta arrazoiketak; eta ondoren egin “deabruaren abokatuarena”.
• Ez konformatu honelako esaldiekin: “Uste dut honela ongi doala”.
• Ez utzi lana erdizka, helburua azkeneraino iriztea baita.

Plana berrikusi eta ondorioak atera.

Etapa honetan garrantzitsua da lortutako emaitza zuzena dela egiaztatzea. Hona hemen buruketaren ebazpenean emandako pausoak hobeto aztertzeko edo sakontzeko lagun diezazuketen galdera batzuk:

• Zeintzuk dira buruketa ebazteko garaian sortu zaizkizun ideiak?
• Zer egin duzu buruketa ebazteko?
• Beharbada bide okerretik joan zara, eta ez duzu zuzendu?
• Agian ez zenituen estrategiak ezagutzen.
• Beharbada ez dituzu tresna matematiko batzuk erraztasunez eta ziurtasunez menperatzen.
• Oker zeunden, nahiz eta bidea zuzena izan?
• Zer pentsatzen dute zure kideek? Lagundu diezazukete?
• Buruketa ebazteko beste bideren bat ote dago?
• Egoera orokorragoetan irizpide hau aplikatzen jakingo zenuke?
• Buruketa honek soluzio gehiagorik izan dezake?
• Enuntziatua xehatu, orokortu edo molda dezakezu?
• …

Burton-Mason-Stacey eredua

Hiru matematikari hauek, “Pensar matemáticamente” liburua idatzi zuten eta bertan buruketak ebazteko hiru etapa proposatzen dituzte.

Hasiera-etapa edo abordatze-etapa

Etapa honetan ikasleak ulertu behar du buruketa zertan datzan, zer eskatzen dion. Buruketen ebazpenean etapa erabilgarria da.

Eraso-etapa

Helburua lortzeko etaparik garrantzitsuena da, ikasleak buruketaren ebazpenerako hipotesi batzuekin saiakuntzak egiteko etapa. Beraz, prozesua bideratu behar da eta bide berriak probatu.

Berrikuste-etapa

Ondoko hiru atalen bilkura da:

• Berrikustea
  Arrazonamenduak, kalkuluak eta erantzuna ea itxaroten zirenak diren kontrolatzean datza.Itxarondako erantzuna ez bada, ikasleak prozedura berri bat hartzeko prest egon beharko du.
• Hausnarketa
  Gure buruari galdetu beharko genioke ea buruketa ebazteko beste bide desberdinen bat dagoen (egon daitekeen).
• Hedapena
  Buruketa batek ez luke isolatutako zerbait izan behar, etengabeko katea baizik. Problema batek beste batera eraman gintzake.

Bai Polya ereduko etapak, bai Mason-Burton-Stacey ereduko etapak elkarrekin erlazionatuta daude, ez daude sakabanaturik. Etapa bata bestearen esparruan sartzen da, eta etapa desberdinak hertsiki erlazionaturik daude.
Bi ereduetan aipatutakoa kontuan izan da, buruketa bat ebazteko bidezkoa litzateke ondoko eskema jarraitzea.