Deribatuen aplikazioak

1. Ezin diozu guztia erakutsi, bere kabuz aurkitzen lagundu al diozu. (Galileo Galilei)

2. Ondo eraikitzearen ondorioz, arkitekto on batera iritsiko zara. (Aristóteles)

Ukitzailea: Kurba bat puntu bakarrean ukitzen duen zuzena. Ukitzailearen malda ukitze-puntuan kurbaren deribatuak hartzen duen balioa da.
Maximoa: Funtzio baten balioak handitzeari utzi eta txikiagotzen hasten den puntua, non tangentea horizontala den eta deribatuak zero balioa hartzen duen.
Ganbila: Begiratzen zaion aldetik erdialdea gailurtua duen lerro edo gainazala

Zuzen ukitzailea, Gorakortasuna eta beherakortasuna, Maximo eta minimo erlatiboak, Ahurtasuna eta ganbiltasuna, Inflexio puntuak eta Optimiozazioa aztertzen dira gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Recta tangente a una curva en un punto
• Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto
• Máximos y mínimos locales de una función
• Criterio de variación de la 1ª derivada
• Concavidad y convexidad de una función
• Criterio de variación de la 2ª derivada
• Optimización de funciones
• L´Hopital-en erregela
• Teorema de Rolle.
• Batazbesteko balioaren teorema
• Teorema del valor medio o de Lagrange

Funtzioen deribatuak

1. Zerebro itsu batentzat begiak ez dute balio. (Esaera arabiarra)
   

2. Ikasle batek iralaske bat ez badu gainditzen, ikaslea ez da ona, irakaslea ere ez. (Esaera txinatarra)

Deribatua: Matematikan, deribatua funtzioaren aldaketaren adierazlea da. Deribatuak, funtzioaren aldagaia hazten doan heinean, funtzioak hartzen duen balioaren hazkundea deskribatzen du. Aldi berean, beste funtzio bat definituko du.

Funtzioaren deribatua puntu batean, Alboko deribatuak, Deribagarritasuna eta jarraitasuna, Funtzio deribatua eta Deribazio erregelak aztertzen dira gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Funtzio baten deribatua puntu batean
• Derivada de una función en un punto-1
• Derivada de una función en un punto-2
• Deribagarritasuna eta jarraitasuna
• Recta tangente
• Deribazio arauak: 1. zatia eta 2. zatia

Funtzioen limiteak. Jarraitasuna

1. Nire hizkuntzaren mugak nire munduaren mugak dira. (Anonimoa)

2. Aurrerapenak bilatuz gure mugak onartzen dituena da gure laguna. Nere lagunok gogoratu: Ez dago belar txarrik, ez da pertsona txarrik ere; kultibadore txarrak baizik. (Victor Hugo)

Kalkulua: Kalkulatzeko metodo eta prozedurez arduratzen diren matematikaren zenbait adarri ematen zaien izena.
Kalkulu diferentziala XVII. mendeko problema zientifiko nagusiak ebazteko sortu zen: Kurben luzerak, Gorputz geometrikoen azalerak eta bolumenak, Kurba baten ukitzaileak, Funtzioen maximo eta minimoak… Mende horretako matematikari askok landu zituzten problema horiek. adibidez, Fermat, Wallis, Barrow…
Hasiera batean problema horiek independenteak ziren eta horrela tratatzen ziren. Problema hauek eta beste asko hartu eta teoria orokor bat egitea lortu zuten Isaac Newton eta Gottried Wilhehn Leibnitz-ek

Limitea: Funtzio baten aldagai independenteari baldintzaren bat jarri ondoren, funtzioa hurbiltzen den balioa da funtzioaren limitea.

Limitearen kontzeptua, Limite finitua, Limite infinituak, Indeterminazio motak, Funtzio baten limitea puntu batean, Funtzioa jarraitasuna, Bolzanoren teorema eta Weierstrassen teorema aztertzen dira gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Funtzio baten limitea
• Idea intuitiva del límite de una función en un punto-I
• Idea intuitiva del límite de una función en un punto-2
• Límite finito. Límite infinito
• Límite en el infinito-1
• Límite en el infinito-2
• Operaciones con límites
• Teoremas de límites. Ejercicios
• Infinitésimos. Teoremas
• Ejercicios con límites: Multzoa-1. Multzoa-2. Multzoa-3. Multzoa-4
• Funtzio baten jarraitasuna. Etenguneak
• Continuidad. Ejercicios
• Teoremas: Bolzano y propiedad de Darboux; Weierstrass
• Ejercicios: Multzoa-1; Multzoa-2; Multzoa-3

Leku geometrikoak

1. Musika soinuen aritmetika da, optika argiaren geometria den bezala. ( Claude Debussy)

Leku geometrikoa: Propietate jakin bat betetzen duten puntu guztien multzoa da.
Leku geometrikoaren adibide giza ondoko hauek aipatuko ditugu:

• AB segmentu baten erdibitzailea: A-tik eta B-tik distantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa da.

• Angelu baten erdikaria: angeluaren aldeetatik distantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa da.

• Zirkunferentzia: Kurba lau itxa, bere puntu guztietatik zentro izeneko punturainoko distantzia berdina duena.

• Elipsea: Foku izeneko bi puntu finkoetarainko distantzien batura konstantea duten puntu guztien leku geometrikoa da.

• Parabola: Foku izeneko puntu finko batetik eta zuzentzaile izeneko lerro zuzen finko batetik distantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da.

• …

Leku geometrikoaren kontzeptua aztertzen da azpian agertzen diren loturen bidez:

• Irakasleak prestatutako
  • ARIKETA proposatuak

• Lugar geométrico
• Lugar geométrico (Descartes)
• Ejemplo práctico 1º
• Ejemplo práctico 2º
• Ejemplo práctico 3º

Metrika espazioan

1. Zertarako jakin behar dugu zer den lerrozuzen bat, ez badakigu zer den zuzentasuna? (Séneca)
2. Geometria izakiaren ezagueraren zientzia bat da, baina ez heriotzari eta belaunaldiari lotuta dagoena. (Platón)

Distantzia: Espazioko bi punturen arteko tartea.Angelua: Elkar ebakitzen duten bi zuzenek edo bi planokmugatzen duten plano- edo espazio-zatia, gradutan neurtzen dena.

Zuzen eta planoen arteko distantziak eta angeluak aztertzen dira gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak
  • Selektibitatea, Hautaprobak

• Angeluak
  • Angulo entre dos rectas
  • Angulo entre dos planos
  • Angulo entre recta y plano
• Distancias
  • Distancia entre dos puntos
  • Distancia entre punto y plano
  • Distancia de un punto a una recta
  • Distancia entre dos rectas que se cruzan

Funtzioen adierazpen grafikoa

1. Jenioa honale osatzen da: ehuneko bi talentua eta ehuneko laurogeita hamazortzi iraunkortasuna. (Ludwig van Beethoven)

2. Jakintsua ez da altxorra non dagoen dakiena, baizik eta landu eta ateratzen duena. (Francisco de Quevedo y Villegas)

Aurreko ataletan aztertutako kontzeptuak kontutan izan ondoren, funtzioen adierazpen grafikoak nola egiten diten ikertuko da gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
• Selektibitateko ariketak
  • Kalkulu diferentziala. SELEKTIBITATEA

• Funtzioen azterlana
• Funtzioen irudikapen grafikoa
• Representación gráfica de funciones derivables
• Representación gráfica de funciones explícitas
• Representación gráfica de funciones atrozos

Zuzenak, planoak: Posizio erlatiboak

1. Pitagorasek garai honetan bizitzeko aukera izan bazuen, futbol entrenatzailea izango zen; futbola geometria bai da, espazioen irekitze eta ixtea, mugimendu matematiko logikoak azken batez. (Anonimoa)

Espazioan, bi zuzenen arteko posizio erlatiboak hauek dira: Bi zuzenak zuzen bera dira; puntu batean ebakitzen dira; elkar gurutzatu egiten dute; paraleloak dira.
Espazioan, planoa eta zuzen baten arteko posizio erlatiboak hauek dira: paraleloak dira; zuzenak planoa puntu batean ebakitzen du; zuzena planokidea da.
Espazioan, bi planoren arteko posizio erlatiboak hauek dira: Bi planoak plano bera dira; zuzen batean elkar ebatzitzen dute; paraleloak dira.
Espazioan, hiru planoren arteko posizio erlatiboak hauek dira:Puntu baten ebakitzen dira; zuzen batean ebakitzen dira; hiru planoak plano bera dira (kointzidenteak); paraleloak dira; bi planok zuzen bat mugatzen dute, hirugarrena zuzenarekiko paraleloa izanik.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Posición relativa de dos rectas en el espacio. Ejemplo
• Posición relativa de recta y plano en el espacio. Ejemplo
• Posición relativa de dos planos en el espacio. Ejemplo
• Posición relativa de tres planos en el espacio. Ejemplo
• Posiciones relativas de rectas y planos
• Posiciones relativas de tres planos en el espacio

Zuzena eta Planoa espazioan

1. La música es la aritmética de los sonidos, como la óptica es la geometría de la luz. (Claude Debussy)
2. En la geometría no existen sectas. (Voltaire)

Zuzena: Bi puntu besterik behar ez dituen lerro infinitua. Lerro zuzena: Bi punturen arteko biderik motzena.
Planoa: Gainazal-mota bat, non bere bi punturen arteko lerro zuzena gainazalean bertan baitago.

Erreferentzia-sistema, Zuzenki baten erdigunea, Puntu baten simetrikoa beste batekiko; Zuzenaren ekuazioak: Bektoriala, Parametrikoak, Jarraitua eta Inplizitua. Planoaren ekuazioak: Bektoriala, Parametrikoak eta Inplizitua aztertzen dira azpian agertzen diren loturen bidez:

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Zer da erreferentzia-sistema?
• Aplicaciones de vectores
• ZUZENA eta bere ekuazioak
  • Ecuaciones de la recta
  • Ecuaciones de la recta: Descartes
  • Ecuación vectorial de la recta: Java
• Planoa eta bere ekuazioak
  • Ekuaciones del plano
  • Ecuaciones del plano: Descartes

Bektoreak espazioan

1. Ondo pentsatzeko eta txarto marrazteko trebetasunari geometria deitzen zaio. (Henri Poincaré)
2. Materia dagoen tokian, geometria dago. (Johannes Kepler)

Bektorea: Norantza duen zuzenkia; bektore-espazioaren oinarrizko elementua.
Modulua: Bektorearen luzera adierazten duen ezaugarria.
Norabidea: Gorputz batek higitzen denean egiten duen bide edo lerroa.
Noranzkoa: Norabide bakoitzak kontrako bi noranzko ditu abiaburutik helburura eta helburutik abiaburura.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Bektoreak. Eragiketak
• Vectores en el espacio. Operaciones (Applets)
• Produckto escalar-1
• Producto escalar-2
• Producto vectorial-1
• Producto vectoria-2. Cálculo
• Producto vectorial-3. Applets
• Producto mixto-1
• Producto mixto-2. Cálculo
  

Determinanteak

1. Matematikak ez dira gesurtiak. Gertatzen dena zera da: matematikari gesurti asko dagoela. (Henry David Thoreau)

2. Proposamen matematikoak, errealitatearekin zer ikusia dutenean, ez dira egiazkoak; eta egiazkoak direnean,  errealitatearekin ez dute zer ikusirik. (Albert Einstein)

Def: Matrize karratu bat osatzen duten elementuekin egindako zenbait produktuen batuketa da determinantea. Hau da, zenbait elementuren arteko batuketak eta biderkaketak adierazteko bidea. Elementuak kopuru bereko errenkada eta zutabetan antolatuta daude, kopuru hori ordena izanik, eta multzo hori alboetatik bi lerro bertikalez mugatzen da.

Determinanteen propietateak. Minor osagarria eta adjuntua eta Determinanteen garapena aztertzen dira gai honetan.

• Irakasleak prestatutako
  • TEORIA
  • ARIKETA proposatuak

• Determinanteak. Sarrus-en erregela
• Determinanteak: Propietateak, heinaren kalkulua eta alderantzizkoa APPLET-ak erabilita.
• Determinanteen propietateak
• Determinanteak bere soluzioarekin
• Determinante. Historia. Métodos de cálculo
• Determinantes. Proyecto Descartes.